Натуральный логарифм. Физический смысл.

Discussion in 'Болталка' started by DartPhoenix, 18 Oct 2018.

  1. DartPhoenix

    DartPhoenix Well-Known Member

    Joined:
    15 Sep 2013
    Messages:
    251
    Likes Received:
    3,948
    Reputations:
    5
    Имеется эдакая замечательная формула:

    v=w(1-(g/ap))*ln (m0/mk);

    v - скорость.
    w - скорость истечения топлива / отброса какой-то массы (имеется ввиду реактивная тяга).
    g - ускорение свободного падения
    ap - реактивное ускорение.
    m0 - масса вначале, "с полным баком"
    mk - масса после израсходования топлива.
    ================================
    Имеем следующее:
    * ap должно быть больше g ибо если нет - умножение на ноль дает ноль и скорость соответственно нулевая.
    * скорость отбрасывания массы на соотношение реактивной тяги и ускорения свободного подения сообщает, скажем так КПД рокеты и позволяет рассчитать необходимое реактивное ускорение для приемлемого расхода топлива.

    Вопроц: что означает натуральный логарифм ? Почему именно натуральный логарифм ? (ибо это, если я не ошибаюсь площадь кривой 1/x от 1 до m0/mk). Т.е. каково свойство этой площади, раз она была заюзана в уравнении ?
     
    CKAP likes this.
  2. user100

    user100 Moderator

    Joined:
    24 Dec 2011
    Messages:
    3,301
    Likes Received:
    9,589
    Reputations:
    338
    Площадь не просто кривой, а площадь под гиперболой...
    На формулу Циалковского похоже :)
     
    _________________________
  3. DartPhoenix

    DartPhoenix Well-Known Member

    Joined:
    15 Sep 2013
    Messages:
    251
    Likes Received:
    3,948
    Reputations:
    5
    Дык это она и есть :)
     
  4. Evan

    Evan Banned

    Joined:
    19 Aug 2016
    Messages:
    79
    Likes Received:
    203
    Reputations:
    0
    Натуральный логарифм из-за того, что у экспоненциальной функции производная равна самой функции. То есть скорость возрастания фунции в точке Х, равно значению этой функции в этой же точке Х. Для показательных функций с другим основанием производные не равны, но прямопропорциональны самой функции, а коэффициентом пропорциональности является опять же натуральный логарифм от основания. Для экспоненты он естественно равен единице, и прозводная переходит сама в себя.
    Физический смысл в том, что если скорость изменения величины в точке, прямопропорциальна значению этой величины в этой же точке, то тут и появляются число е, и натуральные логарифмы, потому что они полностью соответствуют такому поведению. Ты для начала рассмотри классические примеры попроще на эту тему: рост числа бактерий, и разряд конденсатора через резистор. Скорость изменения величины в этих процессах прямопорциональна значению величины. И увдишь как появляются натуральные логарифмы.
     
    #4 Evan, 18 Oct 2018
    Last edited: 18 Oct 2018
    DartPhoenix likes this.
  5. DartPhoenix

    DartPhoenix Well-Known Member

    Joined:
    15 Sep 2013
    Messages:
    251
    Likes Received:
    3,948
    Reputations:
    5
    Спс. Уже намного яснее как ни странно.

    Хотя я чото думал изза сходства. m0 можно считать константой, mk может изменяться (если скорость задана). Похоже на 1/x. Про производную даже не думал :)
     
    #5 DartPhoenix, 19 Oct 2018
    Last edited: 19 Oct 2018
  6. CKAP

    CKAP Well-Known Member

    Joined:
    9 Oct 2015
    Messages:
    612
    Likes Received:
    2,420
    Reputations:
    7
    Ебать, цветные смайлы :eek:
     
    user100 likes this.
  7. user100

    user100 Moderator

    Joined:
    24 Dec 2011
    Messages:
    3,301
    Likes Received:
    9,589
    Reputations:
    338
    _________________________
    CKAP likes this.
  8. user100

    user100 Moderator

    Joined:
    24 Dec 2011
    Messages:
    3,301
    Likes Received:
    9,589
    Reputations:
    338
    Вот нагуглил вроде как адекватное пояснение по вопросу:

    смысл натурального логарифма, если всё это представить графически - это площадь под графиком функции 1/х на участке между х=1 и до х=а. См рисунок внизу.
    В формуле Циолковского само присутстввие натурального логарифма и его смысл яснее ясного (если обратиться опять же к рисунку). Точка 1 - это отношение масс во время старта - топливо еще не израсходовано, а потому отношение стартовой и текущей массы равно единице.
    Точка "а" - это отношение стартовой массы к массе полезного груза. Чем это отношение больше, тем точка а лежит правее по оси и тем большая площадь заключена под графиком.
    А если иметь в виду, что удельный импульс для данного двигателя величина более-менее постоянная, то скорость, до которой разгонится ракета как раз и определяется отношением стартовой и конечной массы. Т. е. их натуральным логарифмом.
    Все просто.
    [​IMG]
     
    _________________________
    Coost and Evan like this.
  9. DartPhoenix

    DartPhoenix Well-Known Member

    Joined:
    15 Sep 2013
    Messages:
    251
    Likes Received:
    3,948
    Reputations:
    5
    На это я и смотрел : )
    А потом еще смотрел на то что ln (x/y) = ln x - ln y. Тут все немного сложнее....

    Короче получается вот что: сей натуральный логарифм представляет собой некий коэффициент и его влияние на скорость нелинейно. Т.е. скорость рОкеты возрастает экспотенциально. Тяга у тебя одна и та же а масса постепенно теряется и чем больше ты ее потеряешь - тем быстрее растет скорость. Почему именно экспотенциально - надо посмотреть еще, но получается что многие подобные процессы связаны с числом Эйлера.

    О сколько нам открытий чудных... :)
    ==========
    Это надо как-то учитывать прирост скорости в единицу времени разбив весь путь рОкеты на промежутки стремящиеся к 0. Наверное...

    Можно конечно вспомнить дифуры методом вникания в толстенький ман, но так не интересно : )
     
    Evan likes this.
  10. user100

    user100 Moderator

    Joined:
    24 Dec 2011
    Messages:
    3,301
    Likes Received:
    9,589
    Reputations:
    338
    Античат - форум ракетчиков :)
     
    _________________________
    Spinus and Triton_Mgn like this.
  11. DartPhoenix

    DartPhoenix Well-Known Member

    Joined:
    15 Sep 2013
    Messages:
    251
    Likes Received:
    3,948
    Reputations:
    5
    Интересная тема, особенно когда есть KSP чтобы затестить и воочию убедиться в кошерности матанализа :Р
     
  12. Evan

    Evan Banned

    Joined:
    19 Aug 2016
    Messages:
    79
    Likes Received:
    203
    Reputations:
    0
    Мне тут пришла мысль, что для того чтоб лучше понять как получилась формула, можно ее упростить приравняв ускорение свободного паденя к нулю. То есть ракета разгоняется, где-нибудь в космосе далеко от тяготеющих масс, где ускорение свободного падения равно нулю. Ракете ничего не мешает разгоняться, кроме ее собственной инерции. Формула в таком случае получается, точно такая же как с разрядом конеденсатора, и на этом хорошо знакомо примере, случай с ракетой можно разобрать по аналогии.

    Если g, равно нулю, то исходная формула из первого поста упрощается:

    [​IMG]

    Теперь, если выразить оставшуюся массу mk через v, то получится:

    [​IMG]


    А вот формула показывающая, как падает напряжение на конденсаторе разряжающемся через резистор:

    [​IMG] --------->[​IMG]

    "ut" здесь оставшееся к моменту t напряжение на конденсаторе, а "u0" начальное напряжение, которое на нем было в момент замыкания ключа. "Т" - просто коэффициент зависящий от емкости кондера, и сопротивления резистора. Играет ту же роль, что в случае с ракетой играла скорость истечения топлива через сопло(w).
    Как видишь зависимость потери ракетой массы("разряда"), от достигнутой скорости, абсолютно такая же как зависимость потери напряжения(разряда) конденсатором, от времени.Тут получается наглядная аналогия:
    Конденсатор имеет в начальный момент напряжение u0("полный бак"), и после замыкания ключа начинает разряжаться. По мере падения напряжения на нем, он разряжается все медленнее и медленнее, потому что разрядный ток согласно закону Ома падает пропорционально падающему напряжению. За каждую следующую секунду, убыток напряжения будет меньше чем за предыдущую.

    Так же и ракета в момент старта имеет массу m0(полный бак), и по мере набора скорости эта масса начинает падать("разряд"). По мере набора скорости, масса ракеты будет уменьшаться все медленнее и медленнее, потому что ракета становится легче. Согласно закону сохранения импульса, скорость потери массы ракетой прямопропорциональна падающей массе. Каждый следующий прирост скорости на один м/с будет даваться меньшим убытком массы, чем предыдущий.

    Формула и для конденсатора, и для ракеты выводится одинковым способом. Для конденсатора тупо на основании закона Ома составляют уравнение:

    [​IMG]


    Смотрят на него и видят что скорость изменения(производная по t) напряжения прямопропорциональна самому напряжению. Значит решением для него будт экспоненциальная функция, это ее характерное свойство.
    Для ракеты по закону сохранения импульса составляют уравнение:

    [​IMG]

    Смотрят и видят что скорость изменения(производная по v) массы прямопропорциональна самомой массе. Значит решением для него будет точно такая же функция. Она будет такая для любого процесса, в котором скорость изменения величины прямопропорциональна самой величине.

    Но это конечно упрощено, потому, что ускорение свободного падения было приравнено к нулю. Но в формуле, которую ты изначально привел уже там упрощено, потому что ускорение принято постоянным. А это же не так, оно уменьшается по мере удаления ракеты от Земли. Но суть формулы Циолковского от этого не меняется. Если сказать одним предложением, главный вывод из нее это то, что при линейном росте целевой скорости ракеты, количество топлива для ее достижения растет экспоненциально.
    Мне вообще интересно при таком раскладе, долетает ли до пункта назначения хотя бы пол-процента по массе, от того что было на старте? Львиная доля топлива уходит на разгон той массы, которая до пункта назначения не долетит, а будет сброшена по дороге.
     
    =HALK=, Spinus and DartPhoenix like this.
  13. Evan

    Evan Banned

    Joined:
    19 Aug 2016
    Messages:
    79
    Likes Received:
    203
    Reputations:
    0
    Вчера обсудждали уровень жизни геев, нужно сделать перерыв:)
     
  14. DartPhoenix

    DartPhoenix Well-Known Member

    Joined:
    15 Sep 2013
    Messages:
    251
    Likes Received:
    3,948
    Reputations:
    5
    Там еще многое зависит от числа ступеней и от скорости истечения топлива. Т.е. от лишней массы можно периодически избавляться и есть зависимость когда это целесообразно делать.

    UPD: циферки в таблице - это начальная масса ракеты (по большей части топлива) если что.

    upload_2018-10-19_14-24-31.png
     
    user100 and Evan like this.
  15. Triton_Mgn

    Triton_Mgn Well-Known Member

    Joined:
    6 Jul 2015
    Messages:
    3,375
    Likes Received:
    4,361
    Reputations:
    41
    А ты че й то хочешь? Куда собрался?
    Где в этой таблице сказано про логарифм?
    Ракетное топливо сгорает не по логарифмическому принципу.
    И вообще, мы попадем в рай - а они просто сдохнут.
     
  16. Evan

    Evan Banned

    Joined:
    19 Aug 2016
    Messages:
    79
    Likes Received:
    203
    Reputations:
    0
    По таблице получается, что если скорость струи 2.5 км/с и трех ступенях, для достижения первой космической скорости, масса на старте в 55 раз превышает массу того, что в итоге долетит до пункта назначения. Аж целых два процента долетит)).
    PS Может в наши ракеты последнее время топлива не доливают?)) Дорого.
     
    DartPhoenix likes this.
  17. DartPhoenix

    DartPhoenix Well-Known Member

    Joined:
    15 Sep 2013
    Messages:
    251
    Likes Received:
    3,948
    Reputations:
    5
    e^(v/w) например.

    Кто это они, которые сдохнут-то ? :)
     
  18. Triton_Mgn

    Triton_Mgn Well-Known Member

    Joined:
    6 Jul 2015
    Messages:
    3,375
    Likes Received:
    4,361
    Reputations:
    41
    Высшей математикой я не горю, да и приставка там не хилая.
    "Фраза" же - свежая.
    Так что смотри на Ren-tv, Прокопенко расскажет через недельку, кто они)
    Ты скажи зачем? Расследовать недополет союза или проверить себя в расчетах или пополнить скилл?
     
    DartPhoenix likes this.
  19. DartPhoenix

    DartPhoenix Well-Known Member

    Joined:
    15 Sep 2013
    Messages:
    251
    Likes Received:
    3,948
    Reputations:
    5
    Надо строить ЯРД с жидкофазным реахтором :)
     
  20. DartPhoenix

    DartPhoenix Well-Known Member

    Joined:
    15 Sep 2013
    Messages:
    251
    Likes Received:
    3,948
    Reputations:
    5
    Просто по кайфу : )
    Все началось еще с телескопа. Я так прикинул - у меня получается 48 градусов северной широты... ну и стал смотреть какие созвездия видать. Потом подумал а каг-же рассчитывают полет на Луну вообще... рассчитал расстояние до Луны. Потом скачал KSP и понеслось :) Клевое занятие в свободное время этой херней заниматься. Что-то типа "хобби"... одного из многих.
     
    Triton_Mgn likes this.
Loading...